هندسه اقلیدسی

بيشتر مردم نمي دانند كه در حدود يك سده و نيم پيش انقلابي در زمينه هندسه روي داد كه از لحاظ علمي به عمق انقلاب كوپرنيكي در نجوم و از جنبه نتايج فلسفي به اهميت نگره تكامل داروين بود.

كاكستر (Coxeter) هندسه دان كانادايي مي نويسد:
" تاثير كشف هندسه هذلولوي در تصوري كه از حقيقت و واقعيت داريم آنچنان عميق بوده است كه به دشواري مي توانيم تصور كنيم كه امكان وجود هندسه اي غير از هندسه اقليدسي تا چه اندازه در سال 1820 تكان دهنده جلوه كرده است."
اما همه ما امروزه نام هندسه فضا- زمان نگره نسبيت انيشتين را شنيده ايم. در واقع هندسه پيوستار فضا- زمان به حدي به هندسه نااقليدسي وابسته است كه آگاهي از اين هندسه ها شرط لازم براي درك كامل جهانشناسي نسبيت است.
هندسه اقليدسي يا همان هندسه اي كه در دبيرستان خوانده ايم، هندسه اي است كه بيشتر براي تجسم جهان مادي به كار مي بريم. اين هندسه از كتابي به نام اصول (Elements) به دست ما رسيده كه توسط اقليدس، رياضيدان يوناني ، در حدود 300 سال پيش از ميلاد مسيح نگاشته شده است. تصوري كه ما بر اساس اين هندسه از جهان مادي پيدا كرده ايم تا حد زيادي به توسط ايزاك نيوتن در اواخر سده هفدهم ترسيم شده است.
هندسه هايي كه اقليدسي نيستند از مطالعه عميقتر موضوع توازي در هندسه اقليدسي پيدا شده اند. دو نيمخط موازي عمود بر پاره خط PQ را در نمودار زير در نظر بگيريد:

منشاء هندسه:
واژه " ژئومتري " از دو واژه يوناني: ژئو، به معني زمين، و متراين، به معني اندازه گيري آمده است، هندسه در اصل علم اندازه گيري زمين بوده است. هرودت، مورخ يوناني (سده پنجم قبل از ميلاد) پيدايش هندسه را به مساحان مصري نسبت مي دهد. ولي تمدن هاي كهن ديگر ( بابلي،هندي،چيني) هم اطلاعات هندسي زيادي داشته اند. هندسه پيشينيان در واقع گردآورده اي از روش هاي "قاعده سرانگشتي" بود كه از راه آزمايش، بررسي شباهت ها، حدس ها و شهودهاي اتفاقي دست يافتن به آنها ميسر شده بود.
خلاصه، هندسه موضوعي تجربي بود كه جواب هاي تقريبي آن معمولاً براي مقاصد عملي كافي بودند.
بابلي ها 2000 تا 1600 سال پيش از ميلاد مسيح محيط دايره را 3 برابر قطرش مي گرفتند يعني پي را مساوي 3 اختيار مي كردند.
اين همان مقداري است كه ويتروويوس (Vitruvius) معمار رومي به آن داده بود و در نوشته هاي چيني همان مقدار پيدا شده است. حتي يهوديان باستان اين مقدار را مقدس مي شمردند و مي پنداشتند كه كتاب مقدس آن را تثبيت كرده است و تلاش خاخام نهه ميام (Nehemiah) براي تبديل پي به 72/2 به نتيجه نرسيده بود.
مصريان سال 1800 پيش از ميلاد، طبق پاپيروس رايند، مقدار تقريبي پي را چنين مي گرفته اند:
پي ≈ (1.69)² ≈ 3.1064

حدس هاي مصريان در پاره اي از موارد درست و در پاره اي ديگر نادرست بودند. يكي از كارهاي برجسته آنان پيدا كردن دستور صحيح براي حجم هرم ناقص مربع القاعده بوده است. از سويي ديگر چنين مي پنداشتند كه دستوري كه براي مساحت مستطيل صحيح است براي هر چهارضلعي نامشخص نيز مي تواند صحيح باشد. هندسه مصري به معني يوناني كلمه علم نبود، بلكه صرفاً انباني بود پر از قواعد محاسبه، بي هيچ موجبي يا توجيهي بابليان در حساب و جبر خيلي از مصريان پيشرفته تر بودند وانگهي، قضيه فيثاغورس را خيلي پيش تر از آنكه فيثاغورس به دنيا بيايد مي دانستند.
ولي يونانيان و بيش از همه طالس اصرار مي ورزيدند كه احكام هندسي بايد از راه استدلال قياسي ثابت شوند نه راه آزمايش و خطا.
طالس با محاسبات قسمتي درست و قسمتي نادرست كه از رياضيات بايلي و مصري در دست بود آشنايي داشت. وي ضمن كوشش براي تميز نتايج درست از نادرست نخستين هندسه منطقي را بنياد نهاد ( طالس به سبب پيشگويي خورشيد گرفتگي سال 585 پيش از ميلاد نيز مشهور است ). استخراج منظم قضايا از راه اثبات، از مشخصات رياضيات يوناني و كاملاً تازه بوده است. نظام بخشي و تابع اصول سازي كه با طالس آغاز شده بود مدت دو سده توسط فيثاغورس و شاگردانش ادامه يافت. معاصران فيثاغورس در او به ديده پيامبري ديني مي نگريستند. او به ابديت روح و تناسخ معتقد بود. او از پيروان خود يك " جمعيت برادري" تشكيل داد كه آداب تهذيب و تزكيه اي خاص خود داشت و پيرو عقايد گياهخواري و اشتراك اموال بود.
تمايز فيثاغورسيان از ديگر گروه هاي مذهبي در اين بود كه آنان اعتلاي روح و يگانگي با خدا را از راه مطالعه موسيقي و رياضي ميسر مي دانستند. در موسيقي، فيثاغورس نسبتهاي صحيح فواصل هارمونيك را حساب كرد. در رياضيات، خواص مرموز و شگفت انگيز اعداد را تعليم مي داد. كتاب هفتم اصول اقليدس كه كتابي درباره نگره اعداد است در مكتب او آموخته مي شد. زماني كه فيثاغورسيان طول هاي گنگ نظير 2√ را كشف كردند به سختي يكه خوردند و در آغاز كوشيدند كه اين كشف را پوشيده نگاه دارند. از آنجايي كه فيثاغورسيان 2√ را عدد نمي شمردند جبر خود را به صورت هندسي درآوردند تا بتوانند2√ و طول هاي گنگ ديگر را به توس
ط پاره خط ( مثلاً 2√ را با قطر مربعي به ضلع واحد) نشان دهند.
پي ريزي منظم هندسه مسطحه توسط مكتب فيثاغورس را بقراط رياضيدان ( با طبيبي به همين نام خلط نشود) در حدود سال 400 پيش از ميلاد مسيح در كتاب اصول سر و صورتي داد با اينكه اين كتاب گم شده است مي توانيم با اطمينان خاطر بگوييم كه قسمت اعظم كتاب هاي اول تا چهارم اصول اقليدس را، كه يك سده بعد منتشر شده، در بر داشته است. فيثاغورسيان هرگز قادر نبودند نگره تناسب هايي را كه بر طول هاي گنگ نيز جاري باشد بسط دهند. اين كار بعداً توسط ائودوكسوس (Eudoxus) كه نگره اش در كتاب پنجم اصول اقليدس گنجانيده شده است، انجام گرفت.
سده چهارم پيش از ميلاد مسيح ناظر شكوفايي آكادمي علوم و فلسفه افلاطون ( كه در حدود 387 پيش از ميلاد بنياد نهاده شد ) بود. افلاطون در كتاب جمهوري مي نويسد: " مطالعه رياضيات دستگاه ذهني را توسعه مي دهد و به كار مي اندازد كه ارزش آن از هزار چشم بيشتر است، زيرا درك حقيقت فقط از راه رياضي ميسر است " افلاطون مي آموخت كه جهان انديشه مهم تر از جهان مادي حواس است زيرا اين جهان سايه جهان اولي است. جهان مادي غاري است نا روشن كه بر روي ديوارهاي آن تنها سايه هاي جهان واقعي خارج را كه به نور خورشيد روشن شده است مي بينيم. خطاهاي حواس بايد از راه تمركز فكر اصلاح شوند، كه خود اين تمركز از راه مطالعه رياضيات بهتر ميسر مي شود. روش سقراطي محاوره اصولاً روش اثبات نامستقيم است كه با آن نشان داده مي شود كه حكم زماني نادرست است كه به تناقضي منجر شود. افلاطون كراراً اثبات گنگ بودن طول قطر مربعي به اضلاع واحد را به عنوان مثالي براي يك روش اثبات نامستقيم (برهان خلف ) آورده است، نكته اينجاست كه اين گنگ بودن طول هرگز نمي توانسته از راه اندازه گيري هاي عيني كه هميشه متضمن يك حاشيه كوچك تجربي خطاست، كشف شود.
اقليدس شاگرد مكتب افلاطون بودكه در حدود 300 سال پيش از ميلاد روش قاطع هندسه يوناني و نگره اعداد را در اصول سيزده جلديش منتشر كرد. با تنظيم اين شاهكار اقليدس ( Eudoxus ) تجربه و كارهاي مهم پيشينيان خود در سده هاي جلوتر را گردهم آورد، تجارب فيثاغورسيان را در كتاب هاي اول تا چهارم و هفتم و نهم، نتايج كارهاي آركيتاس ( Archytas ) را در كتاب هشتم، كارهاي ائودوكسوس را در كتاب هاي پنجم، ششم و دوازدهم و كارهاي تئه تتوس ( Theaetetus ) را در كتاب هاي دهم و سيزدهم.

كتاب اقليدس چنان با طور كامل جانشين كوشش هاي پيشين در شناسانيدن هندسه شد كه كمتر نشانه اي از آن كوشش ها به جا ماند.
روش او در هندسه متجاوز از دو هزار سال بر تعليم اين ماده مسلط بود. روش بنداشتي كه اقليدس به كار برد الگويي است براي آنچه كه ما امروز " رياضيات محض " مي ناميم. محض به معني انديشه محض است، هيچ تجربه عيني براي تحقيق درستي احكام لازم نيست تنها بايد مراقب استدلال در اثبات قضايا بود. اصول اقليدس از اين حيث هم محض است كه متضمن هيچ كاربرد عملي نيست، البته هندسه اقليدسي مورد استعمال بسيار در مسائل عملي مهندسي داشته است، ولي در اصول اشاره اي به آنها نشده است.

ادامه نوشته

تاريخچه ي مختصري از مفهوم و پيدايش اعداد

انسان حتي در مراحل اوليه رشدِ خود داراي قابليتي است ، كه آن را حس عدد  مي ناميم 0 اين قابليت ، بدون دانش مستقيم به او امكان مي دهد تا وقتي از مجموعه اي چيزي كاهش يافت ، نقصان آن را درك كند 0

حسِ عددرا با شمارش كه محصول زمانهاي بعد است ، و همان طور كه خواهيم ديد يك پديده ي پيچيده ي مغزي است ، نبايد اشتباه كرد 0 تا آنجا كه مي دانيم ، شمارش ويژه ي بشر است ، در حالي كه نمونه هايي از جانوران يافت مي شوند كه به شكلي ابتدايي داراي حس عددي مشابه با ما هستند 0

در هر حال ، لااقل عقيده ي كساني كه در رفتار حيوانات مطالعه مي كنند چنين است ، و اين نظريه را دلايل آشكاري تاييد مي كند 0

براي مثال ، تعداد زيادي از پرندگان داراي اين حس عددي هستند 0 از لانه اي كه داراي چهار تخم است مي توان يكي را برداشت ، بي آنكه پرنده متوجه شود ، اما چون دو تخم را برداريم ، پرنده آشيانه را ترك خواهد كرد 0

پرنده به طريقي غير از راه شمارش مي تواند  دو را از سه تميز دهد . ولي اين قابليت به هيچ وجه محدود به پرندگان نيست . در واقع نمونه ي جالبي كه با آن سرو كار داريم ، زنبوري بنام عنتر است 0 اين زنبور در حفره هاي منفرد تخم مي گذارد و براي هر تخم مقداري معين كرم شكار مي كند تا وقتي بچه ها سر از تخم بيرون آوردند از آنها تغذيه كنند 0 اما تعداد قربانيان به شكلي جالب براي هر نمونه از زنبور معين و مشخص است : بعضي از انواع ، 5 عدد ، پاره   ا ي 12 عدد  ،  عده اي ديگر حتي تا 24 كرم براي هر حفره آماده مي كنند 0

قابل توجه است كه چون جنس مذكرِ اين حشره بسيار كوچكتر از جنس مو’نثِ آن است ، مادر به شكلي مرموز      مي داند كه تخم جنس ، مذكر است يا مو’نث ؟ ، و بر حسب جنس تخم ،  غذاي لازم را براي آنها توزيع مي كند  0

او در اين مورد اندازه يا نوع طعمه را تغيير نمي دهد ، بلكه براي تخم مذكر 5 كرم و براي تخم مو’نث 6 كرم  مي گذارد .

نظم كار اين زنبورها ، و اين واقعيت كه عمل مزبور در زندگي حشره با وظيفه ي اساسي او ارتباط دارد ، اين امر را نسبت به آنچه كه در زير بيان مي شود كم اهميت تر جلوه مي دهد 0 به نظر مي رسد كه رفتار پرنده با توجه و هشياري همراه است 0

شخصي تصميم گرفت كلاغي را كه در برج مراقبت ملك او آشيانه ساخته بود ، شكار كند 0 او بارها كوشش كرد تا پرنده را غافلگير كند ولي تلاشش بيهوده بود 0 هنگامي كه نزديك به لانه مي شد ، پرنده آشيانه ي خود را ترك     مي كرد و بر درختي دور تر از برج مي نشست و تا اين شخص برج را ترك نمي كرد به لانه ي خود باز نمي گشت 0

يك روز وي حيله اي بكار برد : دو مرد وارد برج شدند ، يكي داخل آن باقي ماند و ديگري بيرون آمد و پي كار خود رفت 0 اما پرنده فريب نخورد ، او خارج از آشيانه باقي ماندتا مردي كه داخل برج بود نيز بيرون آمد 0 در روزهاي بعد اين تجربه با دو ، سه ، و بعد با چهار نفر تكرار شد ، ولي توفيقي حاصل نشد ،     سر انجام ، پنج مرد وارد برج شدند ، يكي باقي ماند و چهار نفر ديگر خارج شدند ، در اينجا كلاغ شمارش را اشتباه كرد ، بدون اينكه بتواند چهار را از پنج تميز دهد وارد لانه شد 0

 در رابطه با حس عددي اين واقعيت را ياد آور مي شويم كه انواعي را كه داراي چنين حسي باشند بسيار معدودند و حتي ميمونها اين حس را ندارند 0

دامنه ي حس عددي حيوانات چنان محدود است كه مي توان از آن صرف نظر كرد ، يعني قابليت دريافت عدد ، به اشكال گوناگونِ آن ، تنها به بعضي از حشرات و پرندگان ، و انسان محدود است 0

مشاهدات و تجربيات در باره ي سگها ، اسبها و ساير حيواناتِ اهلي نشانه اي از حس عددي در آنها معلوم نكرده است 0

دامنه ي حس عددي انسان نيز خيلي محدود است 0 در تمام موارد عملي ، كه انسانِ متمدن ناگزير از تشخيص عدد مي شود ، آگاهانه يا ناخود آگاه قرينه خواني ، گروه بندي يا شمارش مغزي را به ياريِ حس عدديِ خويش مي طلبد 0

شمارشچنان جزو مكمل دستگاه مغزي ما شده است كه آزمايشهاي رواني در باره ي ادراك شمارشيِ ما با دشواريهاي فراوان مواجه مي شود 0 با اين حال پيشرفتهايي نيز حاصل شده است ، . تجربياتي كه با دقت دنبال شوند اين نتيجه ي اجتناب ناپذير را حاصل مي كنند كه حس عدد بصريِ مستقيم يك فرد متمدن به ندرت از چهار تجاوز مي كند و ميدان حس عدد لمسي از اين هم محدود تر است .

 

مطالعات انسان شناسي در باره ي انسانهاي ابتدايي اين نتايج را تا اندازه ي قابل توجهي تاييد مي كند . اين مطالعات نشان مي دهد كه وحشياني كه به مرحله ي انگشت شماري نرسيده اند ، تقريباً از ادراك عددي محرومند اين وضع در ميان تعداد زيادي از قبيله هاي استراليا ، جزيره هاي درياي جنوب ، آمريكاي جنوبي و آفريقا وجود دارد 0

بررسي دامنه داري در باره ي استراليا ي بدوي نشان مي دهد كه معدودي از بوميها مي توانند چهار را از پنج تميز دهند ، و هيچ انسان استراليايي بدوي نمي تواند عدد 7 را ادراك كند 0

بعضي از قبايل آفريقاي جنوبي براي شمارش ، كلماتي بيش از يك و دو و بسيار ندارند ، و اين كلمات چنان ناشمرده ادا مي شوند كه در اينكه مفهوم روشني براي آنها داشته باشند ، بايد ترديد كرد 0

 

اينكه انسان از چه زماني اعداد را شناخت و به شمارش پرداخت ، روشن نيست 0 آيا اين مفهوم از را تجربه بدست آمده است ، يا تجربه فقط آنچه را كه در مغز انسان ابتدايي به حالتي پنهاني جايگزين بوده آشكار ساخته است ؟

نتيجه اي كه در اينجا مي توان گرفت اين است كه با اتكا به همين دريافت مستقيم عدد ، انسان فقط به همان اندازه پرندگان مي توانست در اين زمينه پيشرفت حاصل كند 0

از ميان وقايع قابل توجه آن كه نيرنگي كه مي توانست تاثيري عظيم در زندگي بشر داشته باشد به ياريِ دريافتِ عدديِ خود در آورد 0 اين نيرنگ همان شمارش است  ، و اين همان شمارش است كه ما پيشرفتِ خارق العاده ي خود را مديون آن هستيم 0

 

ادامه نوشته